数学クイズ

memo

[結] 2007年6月 - 結城浩の日記
解いてみた
直感的な解答。

問題の数列は
a_0=1
a_n=\sqrt{2 a_{n-1}}     n=1,2,3,...
と書ける。
もしこの数列が有限の値に収束すると仮定すれば、nを無限大にしたときに、
lim_{n\to\infty}a_n=lim_{n\to\infty}a_{n-1}=a_\infty
とできるので、
a_\infty=\sqrt{2 a_\infty}
となり、
a_\infty=0, 2
あれ？

もうちょっとだけ詳しい解答。（怪しい）

a_0=1
a_n=\sqrt{2 a_{n-1}}     n=1,2,3,...
から
a_n=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} \cdots 2^{(1/2)^n} \cdot a_0^{(1/2)^n} = 2^{1/2 + 1/4 + 1/ 8 \cdots +(1/2)^n}
べき乗部分を
S_n=1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + (1/2)^n
とおくと、Snは初項が1/2、項比が1/2の等比数列の和になっているので
S_n= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - (1/2)^n
よって
a_n=2^{1 - (1/2)^n}
nを無限大にすると
lim_{n\to\infty}a_n = 2